El Método de Boltzmann en Redes.
F. Mandujano.
El método de Boltzmann en redes que se ha utilizado para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones de Navier-Stokes con fronteras inmersas, es una discretización de la ecuación de Boltzmann en la aproximación de Bhatnagar–Gross–Krook (BGK)) para flujos en dos dimensiones. El método que se describe fue desarrollado por He & Luo en 1997, aunque en la actualidad hay muchca literatura al rededor de éste algoritmo. Los detalles se pueden encontrar en "On the forced flow around a rigid flapping foil" y en las referencias que ahí aparecen.
De la teoría cinética de los gases, si $f({\bf r},{\bf c},t)d{\bf r}d{\bf c}$ es la probabilidad de encontrar a una partícula en una posición entre ${\bf r}$ y ${\bf r}+d{\bf r}$ y con velocidad entre ${\bf c}$ y ${\bf c}+d{\bf c}$, la ecuación de Boltzmann está dada por
$\frac{\partial f}{\partial t} + {\bf c} \cdot \nabla f = \Omega$,
en donde $\Omega$ es el término de colisión de Boltzmann. En la ecuación anterior se omitió un término adicional cuando hay fuerzas externas. El término $\Omega$ es un término integral que hace que la ecuación resultante sea una ecuación integro-diferencial no-lineal muy compleja. Sin embargo, en circunstancias en donde el sistema está solo ligeramente fuera de equilibrio temodinámico Bhatnagar, Gross y Krook mostraron que se puede aproximar por un término de relajación. Si $f_{eq}({\bf r},{\bf c},t)$ es la función de distribución en el equilibrio (que corresponde a la función de distribución de Maxwell), la ecuación de Boltzmann en la aproximación BGK es
$\frac{\partial f}{\partial t} + {\bf c} \cdot \nabla f = -\frac{1}{\tau}(f-f_{eq}),$
Una vez que se conocen soluciones a esta ecuación, los campos macroscópicos se obtienen calculando los dos primeros momentos, en el espacio de velocidades, de la función de distribución, es decir, la densidad de masa $\rho({\bf r},t)$ y de momento del fluido $\rho{\bf u}({\bf r},t)$ están dados por
$\rho({\bf r},t) = \int f({\bf r},{\bf c},t)d{\bf c}$, y
$\rho({\bf r},t) {\bf u}({\bf r},t) = \int f({\bf r},{\bf c},t)d{\bf c}$
Al hacer un desarrollo de Chapman-Enskog de esta ecuación se encuentra que este problema es equivalente a resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en el límite de números de Mach pequeños.
El método de Boltzmann en redes corresponde a una discretización de la ecuación de Boltzmann en la aproximación BGK en la malla D2Q9, en donde el espacio físico se discretiza usando una malla cartesiana y el espacio de veloicades sólo tiene nueve velocidades en las direcciones de los 8 vecínos más cercanos y el cero. El número de velocidades y la discretización espacial resultan al pasar las integrales en los cálculos de las variables macroscópicas por sumas discretas usando cuadraturas. Esta discretización tiene una foma muy particular, ya que al discretizar el espacio de velocidades de tal manera que la masa y el momento mantengan sus propiedades, ahora se tienen nueve funciones de distribución que dependen de la posición para cada dirección representada por las nueve velocidades discretas.
El esquema numérico queda de la siguiente forma, se escoge por simplicidad una malla caresiana tal que la distancia entre nodos es uno y el paso de timepo también igual a uno, la ecuación discreta de Bolztmann toma la forma
$f_k({\bf r}+{\bf e}_k,t+1) = f_k({\bf r},t)-\frac{1}{\tau}(f_k({\bf r},t)-f_k^{eq}({\bf r},t))$,
en donde el índice $k$ corre de 0 a 8 y ${\bf e}_k$ es la velocidad microscópica en la dirección de $k$. El conjunto de velocidades discretas es ${\bf e}=\{(0,0),\pm (1,0),\pm (0,1),\pm (1,1),\pm (1,-1)\}$. Los campos macroscṕicos se calculan a partir de
$\rho({\bf r},t) = \sum_{k} f({\bf r},t)$, y
$\rho({\bf r},t) {\bf u}({\bf r},t) = \sum_{k} f({\bf r},t){\bf e}_k$,
la función de distribución de equilibrio con esta discretización está dada por la expresión
$f_k^{eq} = \rho_0 \omega_k (1+3{\bf u}\cdot{\bf e}_k+\frac{9}{2}({\bf u}\cdot{\bf e}_k)^2-\frac{3}{2}{\bf u}^2)$,
en donde $\omega_0=4/9$, $\omega_k=1/9$ si $k=1,..,4$ y $\omega_k=1/36$ si $k=5,...,8$. Con este esquema se pueden obtener soluciones aproximadas a la ecuación de Boltzmann asegurando que no hay error en el cálculo de los momentos de la distribución de partículas al cambiar integrales por sumas discretas. Para completar el algoritmo hay que especificar las condiciones a la frontera. En vista que de entrada se supone que los campos macrosópicos anteriores satisfacen las ecuaciones de Navier-Stokes buscamos soluciones numéricas para las nueve funciones de distribución $f_k({\bf r},t)$ que satisfagan las condiciones de frontera macroscópicas. En la actualidad hay muchos algoritmos para imponer diferentes condiciones de frontera para este conjunto de ecuaciones diferenciales parciales. Se han implementado dos tipos de condición de frontera: la condición de no-deslizamiento para fronteras sólido-fluido y condiciones libres de esfuerzo en froteras fluido-fluido. Para más detalles de los algoritmos utilizados ver "On the forced flow around a rigid flapping foil".
Este método se implementó en paralelo en el lenguaje CUDA C para correrlo en GPU's, por sus siglas en inglés. El método de Boltzmann en Redes resulta un algoritmo muy adecuado para paralelizar en GPU's y permite hacer simulaciones en tiempos relativamente cortos respecto de su contraparte serial que son de orden de 70 veces más lentas. Esto ha permitido hacer suficientes simulaciones (expermientos numéricos) para estudiar con mucho detalle propiedades del flujo, por ejemplo, las interacciones sólido-fluido o sólido-fluido-sólido en el caso de tener más de una frontera inmersa móvil. En la actualidad tenemos un conjunto de programas que ajustan diferentes condiones de frontera para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos alrededor de uno o más cuerpos inmersos móviles: cilindros elípticos, alas rígidas y alas deformables.
Dentro del Laboratorio de Fluidos ofrecemos proyectos de Tesis de Licenciatura y Posgrado en materias afines a la Dinámica de Fluidos. Estos proyectos abarcan desde extender los programas existentes a otras condifciones de frontera, hasta estudiar problemas de interés como interaciones hidrodinámicas solido-fluido y sólido-fluido-sólido. Actualmente, se cuenta con infraestructura de cómputo en continuo crecimiento en donde se pueden hacer simulaciones usando este método en dominios de alta resolución y en tiempos muy razoanables de cómputo, de tal manera que los proyectos de Licenciatura pueden extenderse facilmente a estudios de Posgrado y culminar en artículos de investigación en problemas de interés actual.