Artículo: The flow around a forced cylinder between two parallel walls.

Autores: F. Mandujano, R. Rechtmann y C. Málaga.

Figura 1: Esquema del problema

Se realizó un estudio detallado del flujo alrededor de un cilindro, de masa $m$ y radio $a$, confinado entre placas paralelas, separadas una distancia $h$, y sujeto a una fuerza externa Hookeana cuya frecuencia es $\sqrt{k/m}$. Para esto se resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes con las condiciones de frontera de no deslizamiento sobre la superficie del cilindro y sobre las parede laterales, como se aprecia en la Figura 1. En el dominio numérico el flujo a la entrada corresponde a un flujo de Poiseuille y a la salida hay una condición libre de esfuerzos. Esto simula las condiciones de frontera para el caso en el que el sistema es infinito en la dirección del flujo.

Este problema presenta carácteristicas muy similares al caso en el que no hay paredes laterales (caso no confinado). Los parámetros relevantes son el número de Reynolds ($Re$), el número de Strouhal ($S_t$), la razón de densidades entre el fluido y el sólido y la razón de aspecto entre el diámetro del cilindro y la separación de las placas. El comportamiento también se puede dividir en ramas separadas por regiones de transición. Hay un rama de excitación, la correpondiente al lock-in y un tercera rama en donde las amplitudes colapsan a cero y el cilindro queda en reposo (rama de colapso).

Figura 2

La Figura 2 muestra el campo de vorticidad en la rama de exitación, las trayectorias del centro de masa del cilindro son en forma de ocho y la amplitud transversal crece exponencialmente. En este caso se observa que tanto el cilindro como las paredes desprenden vórtices que ineractúan aguas abajo. Cada medio cilo se forman pares de vortices cerca del cilindro, uno se desprende de la parded y otro de signo contrareo se desprende del cilindro formando una estructura dipolar. Entonces, cada ciclo se observan dos vórtices tipo dipolo que se aparean aguas abajo para formar una estela tipo 2S.

Figura 3

Al aumentar el número de Strouhal aumenta la amplitud de oscilación en ambas direcciones, paralela y transversal al flujo, las trayectorias del centro de masa del cilindro siguen pareciendo ochos que se modifican ligeramente en cada revolución pues ya no son periódicas, es decir, no se cierran hasta los tiempos de observación considerados. En analogía al caso no confinado, de la rama de excitación se pasa a una región de transición en donde las trayectorias tienen variaciones a los ochos, lo cual, produce variaciones en el desprendimiento como se puede apreciar en la Figura 3.

Figura 4

Después de la región de transición está la rama del lock-in en donde la amplitud de oscilación en la dirección transversal al flujo es máxima, sin embargo, no choca nunca contra la pared. Un resultado interesante es que la amplitud de oscilación transversal en este caso es del mismo orden que en el caso no confinado. A diferencia de la rama de exitación, la vorticidad que se produce an la frontera solo alimenta al vórtice, del mismo signo, sin realmente formar un vórtice, de tal manera que se produce una estela 2S con una vorticidad más intensa. Es de notar que la vorticidad que se produce a lo largo del canal tambiém parece alimentar los vórtices de tal manera que se promueve el patrón 2S: es una guía de vórtices (o guía de ondas). Las ramas de excitación y de lock-in se caracterizan por que las trayectorias del cilindro son periódicas, en analogía al caso no confinado.

Figura 5

Aquí la rama de excitación también se caracteriza por una variación pequeña de la amplitud transversal de oscilación del cilindro. De hecho en este trabajo se realizó un análisis para varios valores de $m^*$ y se encontró que el comportamiento de la oscilación trasnversal es el mismo (se encuentran las mismas ramas a los mismos valores de un nuevo parámetro que es función del número de Strouhal y de $m^*$); para mayores detalles ver el artículo The flow around a forced cylinder between two parallel walls. Despúes de la rama del lock-in aparece otra región de transición. Las trayectorias pierden la periodicidad y las estelas detrás del cilindro se modifican y cambian el patrón al desprender en cada ciclo estructuras diferentes. En esta región también se observa coexistencia de soluciones como en el caso no confinado.

Figura 6

Al aumentar $S_t$ se encuentra una región en donde las amplitudes de oscilación del cilindro, tanto en la dirección transversal como la longitudinal al flujo, tienden a cero abruptamente. En la literatura esta región se ha denotado como región de decoherencia; se ha observado experimentalmente en sistemas en donde se asume que el efecto de la pared es despreciable y a valores más grandes del número de Reynolds que los usados en el caso no confinado en donde no se observó depués de la rama del lock-in. En la Figura 6 se muestra un ejemplo en esta región. Es de notar primero que el flujo es simétrico respecto a una reflexión especular en la dirección transversal al flujo lo cual, indíca que la fuerza en esta derección es cero. Los vórtices detrás del cilindro ya no se desprenden y permanecen simétricos. El flujo arstra vorticidad aguas abajo que se convina con vorticidad producide en la pared para formar vórtices anti-simétricos (en el sentido de que uno tiene vorticidad positiva y otro negativa) aguas abajo.